Spazio lenticolare

In matematica, uno spazio lenticolare è una particolare varietà ellittica. Si tratta di una 3-varietà avente una struttura di varietà riemanniana con curvatura sezionale ovunque pari a 1. Uno spazio lenticolare è indicato con

${\displaystyle L(p,q)}$

e dipende da una coppia di interi coprimi ${\displaystyle (p,q)}$. Gli spazi lenticolari sono 3-varietà particolarmente semplici, il cui gruppo fondamentale è un gruppo ciclico finito.

Definizione

Sia ${\displaystyle S^{3}}$ l'ipersfera in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$. Identificando ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ con ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, questa può essere definita come

${\displaystyle S^{3}={\big \{}(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}\ {\big |}\ |z|^{2} |w|^{2}=1{\big \}}.}$

Sia ${\displaystyle (p,q)}$ una coppia di interi coprimi, con ${\displaystyle p>0}$. Sia ${\displaystyle \omega }$ la radice dell'unità

${\displaystyle \omega =e^{2\pi i/p}.\,\!}$

Anche l'elemento ${\displaystyle \omega ^{q}}$ è una radice primitiva ${\displaystyle p}$-esima dell'unità. Si consideri l'applicazione lineare

${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle f(z,w)=(\omega z,\omega ^{q}w).}$

La mappa ${\displaystyle f}$ è un isomorfismo lineare su ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Poiché ${\displaystyle |\omega |=|\omega ^{q}|=1}$, la ${\displaystyle f}$ preserva la norma dei vettori e quindi manda ${\displaystyle S^{3}}$ in sé. Letta su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$, è rappresentata da una matrice ortogonale ${\displaystyle 4\times 4}$. Si tratta quindi di una isometria di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$: in particolare, preserva ${\displaystyle S^{3}}$ e si restringe ad una isometria di ${\displaystyle S^{3}}$

${\displaystyle f:S^{3}\to S^{3}.}$

L'isometria ${\displaystyle f}$ genera un gruppo di isometrie

${\displaystyle \{f,f^{2},\ldots ,f^{p}={\rm {id}}\}\,\!}$

isomorfo al gruppo ciclico di ordine ${\displaystyle p}$. Lo spazio lenticolare è lo spazio quoziente rispetto a questo gruppo di isometrie.

Proprietà

Varietà ellittica

Il gruppo di isometrie generato da ${\displaystyle f}$ agisce in modo libero e propriamente discontinuo. Il quoziente è quindi una varietà topologica compatta e la proiezione

${\displaystyle p:S^{3}\to L(p,q)\,\!}$

è un rivestimento. Si tratta del rivestimento universale, poiché ${\displaystyle S^{3}}$ è semplicemente connessa.

Poiché la ${\displaystyle f}$ è una isometria, il quoziente ${\displaystyle L(p,q)}$ eredita una struttura di varietà riemanniana. Come ${\displaystyle S^{3}}$, questa ha curvatura sezionale ovunque pari a 1 ed è quindi un esempio di varietà ellittica.

Gruppo fondamentale

Il gruppo fondamentale di ${\displaystyle L(p,q)}$ è isomorfo al gruppo ciclico ${\displaystyle \mathbb {Z} /_{p\mathbb {Z} }}$.

Dipendenza dai parametri

Gli spazi ${\displaystyle L(p,q)}$ e ${\displaystyle L(p',q')}$:

• hanno lo stesso gruppo fondamentale se e solo se ${\displaystyle p=p'}$;
• sono isometrici se e solo se sono omeomorfi, e questo accade se e solo se ${\displaystyle p=p'}$ e

  ${\displaystyle q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}};}$

• sono omotopicamente equivalenti se e solo se ${\displaystyle p=p'}$ e

  ${\displaystyle q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}.}$

Per quanto scritto, solitamente si suppone ${\displaystyle p>q>0}$.

Tra gli spazi lenticolari vi sono quindi esempi di 3-varietà con lo stesso gruppo fondamentale ma non omotopicamente equivalenti, ad esempio

${\displaystyle L(5,1),\quad L(5,2)}$

e varietà omotopicamente equivalenti ma non omeomorfe, ad esempio

${\displaystyle L(7,1),\quad L(7,2).}$

Per ${\displaystyle p=2}$ si ottiene soltanto la varietà ${\displaystyle L(2,1)}$; in questo caso la funzione ${\displaystyle f}$ è la mappa antipodale e quindi il quoziente ${\displaystyle L(2,1)}$ è lo spazio proiettivo reale

${\displaystyle L(2,1)=\mathbb {R} \mathbb {P} ^{3}.}$

Geometrizzazione

Uno spazio lenticolare è sempre una 3-varietà irriducibile e prima.

Per la congettura di geometrizzazione di Thurston, dimostrata da Grigori Perelman, una 3-varietà compatta avente gruppo fondamentale ciclico finito è necessariamente uno spazio lenticolare.

Voci correlate

• 3-varietà
• 3-varietà prima

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Lens Space, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Spazio lenticolare, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.